Lagrange 乘數
Lagrange multiplier
拘束條件附き最適化問題$ \argmax_{x_1,x_2,\dots,x_n}f(x_1,x_2,\dots,x_n)\quad,g_1(x_1,x_2,\dots,x_n)=g_2(x_1,x_2,\dots,x_n)=\dots=g_m(x_1,x_2,\dots,x_n)=0を、Lagrange 乘數$ \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_mを置き、函數$ F(x_1,x_2,\dots,x_n,\lambda):=f(x_1,x_2,\dots,x_n)-\lambda_1 g_1(x_1,x_2,\dots,x_n)-\lambda_2 g_2(x_1,x_2,\dots,x_n)-\dots-\lambda_n g_n(x_1,x_2,\dots,x_n)の極値問題$ \frac{\partial F}{\partial x_1}=\frac{\partial F}{\partial x_2}=\dots=\frac{\partial F}{\partial x_n}=\frac{\partial F}{\partial\lambda_1}=\frac{\partial F}{\partial\lambda_2}=\dots=\frac{\partial F}{\partial\lambda_m}=0に替へて解く vector$ {\bf x}:=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}に關する拘束條件附き最適化問題$ \argmax_{\bf x}f({\bf x})\quad,g_1({\bf x})=g_2({\bf x})=\dots=g_m({\bf x})=0を、Lagrange 乘數$ {\bf\lambda}:=(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m)を置き、函數$ f({\bf x})-\sum_{i=i}^m\lambda_i g_i({\bf x})の極値問題$ \nabla f({\bf x})=\sum_{i=i}^m\lambda_i\nabla g_i({\bf x})に替へて解く 最適値が無限大・小でなければ、極値に對應する函數値を計算して最適値を探せる
勾配$ \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right),$ \nabla g_i=\left(\frac{\partial g_i}{\partial x_1},\frac{\partial g_i}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial g_i}{\partial x_n}\right)
意味
$ \argmax_x f(x)\quad,g(x)=0の Lagrange 乘數$ \lambda(※$ F(x):=f(x)-\lambda g(x),$ \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial\lambda}=0) を、制約$ g(x)=0の單位價格 (限界效用) と見做せる Lagrange 乘數は、ざっくり言ふと「制約が陰に備へてゐる價格」なのだ。これを經濟學では「歸屬價格 (imputed price)」と呼んでゐる。 歸屬計算 (imputation。缺測値補完)
歸屬家賃・歸屬地代
制約條件を豫算制約線、函數を效用函數、極値を最適消費點と置き換へることでミクロ經濟學における最適消費點を求める事に利用される。この際、Lagrange 乘數は、貨幣の限界效用として解釋することができる。 雙對問題 (dual problem)